Набор сервисов для предотвращения образования автомобильных “пробок”

Создать новую статью

Дата последнего изменения :   05.10.2009 06:22
Рейтинг
 


Аннотация

В работе представлен набор сервисов, предназначенных для управления дорожным движением и предотвращения образования автомобильных пробок. Для создания сервисов была разработана сложная стохастическая модель динамики транспортных потоков, и проведена работа по исследованию ее эффективности. Предлагаемые сервисы должны обеспечить управление работой светофоров (динамически изменять интервалы переключения направлений на перекрестках с целью балансировки транспортных потоков) и предоставлять участникам дорожного движения текущую информацию о состоянии системы и рекомендации о выборе направления движения. Кроме того, в работе реализована демонстрационная версия системы управления.

Введение

В настоящее время около 60% всех жителей Земли проживают на территориях менее 10% площади ее суши. Достаточно большой процент населения в своей повседневной жизни пользуется транспортом. Высокая сосредоточенность людей на небольших территориях приводит, в частности, к возникновению автомобильных пробок, в которых сжигается огромное количество углеводородного топлива. В атмосферу выбрасываются вредные вещества и парниковые газы, что приводит к изменению климата (чаще всего не в лучшую сторону). Вредные и канцерогенные вещества ухудшают экологию и вызывают рост числа раковых заболеваний. Стрессы, вызываемые многочасовым стоянием в пробках, приводят к нервным срывам и заболеваниям сердца. По экспертным оценкам, только за один год из-за пробок, Англия теряет до 20 млр. фунтов стерлингов. А 40 % выбросов вредных веществ в США дает автомобильный транспорт.

Одним из вариантов благотворного влияния на данную проблему является использование возможностей информационных технологий для управления транспортными потоками. Создание транспортно- информационной системы позволит частично решить существующую проблему пробок.

Транспортная сеть с точки зрения математического моделирования и управления является очень сложным и плохо изученным объектом. Для этого, в качестве примера, можно выбрать сеть какого либо крупного города (например, Москвы). На рис.1 показана часть Московской дорожной системы в районе метро Савеловская, которая представляет собой граф, вершины которого связаны между собой произвольным образом, случайным числом от 3 до 5 связей.

Рис.1. Пример дорожной сети современного мегаполиса (дорожная карта взята с ресурса www.yandex.ru, http://maps.yandex.ru/moscow).

Между узлами сети (перекрестками) по связям (дорогам) перемещаются автомобили, потоки которых регулируются светофорами. Они открывают на некоторое время, то или иное направление движения. Когда интенсивность движения увеличивается, то автомобили начинают скапливаться и образуется очередь. Когда число машин в очереди достигает для данного i-направления на j-перекрестке некоторого критического порога (обозначим его Li,j) возникает пробка. Кроме того, надо учитывать, что образование пробки - коллективный согласованный процесс, обусловленный событиями, происходящими одновременно на множестве соседних узлов.

Управлять потоками машин можно динамически изменяя интервалы времени переключения светофоров. При управлении светофорами (изменение интервалов включения/выключения) необходимо использовать модели, описывающие динамику транспортных потоков с учетом их коррекции, в результате мониторинга числа входящих и выходящих с перекрестка машин, а также материального баланса общего числа машин, находящихся в данный момент в транспортной системе. Кроме того, необходимо учитывать, что соседние узлы транспортной сети создают взаимосвязанные потоки.

Решение проблемы транспортных пробок можно разделить на следующие задачи:

  1. Разработка математической и информационной модели работы транспортной сети города.
  2. Создание программно-аппаратного комплекса, осуществляющего мониторинг и управление движением в транспортной сети города.
  3. Разработка сервисов моделирования транспортной сети, управления транспортной сетью и предоставления пользователям (водителям) текущей и прогнозируемой информации о состоянии системы и рекомендации о выборе направления движения.

Описание сервисов

I. Сервисы моделирования и управления движением транспорта в транспортной сети Данный сервис позволит на основе смоделированной структуры транспортной сети моделировать движение всех автомобилей города в построенном графе дорожной сети. Сервис моделирования позволит определить является ли принципиально возможным динамическое изменение интервалов времени переключения светофоров в данном городе для предотвращения пробок. Если ответ на данный вопрос является положительным, то возможно использование сервиса управления.

a) Сервис моделирования. Позволяет проверить применимость динамического управления переключением светофоров города для положительного влияния на транспортную обстановку города. Для работы сервиса используются статистические данные: о количестве автомобилей на 1000 человек, численность населения в городе и экспериментально определенная функция числа машин на дорогах в зависимости от времени суток. В этом сервисе возможна реализация двух моделей:

модель случайного движения машин в городе "классическое движение";

модель, реализующая предлагаемый нами алгоритм управления транспортными потоками, основанный на разработанной нами математической модели стохастической динамики.

В части визуализации данных динамическое изменение состояния объектов "перекресток" и "дорога" на транспортной карте при выполнении моделирования движения транспортных потоков отображается изменением цветовой насыщенности. Кроме того, возможно построение графических зависимостей числа автомобильных "пробок" в сети от времени, для реализованных моделей и сравнивать их между собой.

b) Сервис динамического управления. Данный сервис направлен на вычисление интервалов времени включения светофоров на основе данных мониторинга транспортных потоков, получаемых с камер слежения на перекрестках и дорогах. Получаемые с камер данные используются для связи потоков между соседними перекрестками. Также получаемая информация используется для прогнозирования загруженности перекрестков, а результаты работы сервиса используются для переключения светофоров.

При реализации сервисов моделирования и динамического управления необходимо учитывать необходимость осуществления параллельных вычислений на многопроцессорном сервере или многоядерном процессоре и использовании распределенной вычислительной среды.

II. Сервис информационной поддержки участников дорожного движения. Данный сервис предоставляет текущую и прогнозируемую информацию о состоянии транспортной сети, и выдает рекомендации о выборе направления движения.

В случае с управлением дорожной сетью, в качестве дополнительной функции можно указать накопление и предоставление статистической информации о величине трафика на дорогах для контролирующих органов и для организаций планирования капитального строительства.

Во втором случае дополнением к сервису могут стать маршруты объезда областей повышенной плотности трафика (пробки). Это дополнение принципиально отличается от аналогичных сервисов тем, что данные составляются на основе рассчитанного прогноза развития событий и корректируется исходя из результатов работы сервиса, управляющего светофорами. В связи с этим, маршрут, выбранный системой, будет больше ориентирован на каждого конкретного пользователя.

Рис. 2. Схема общей структуры сервисов.

На рисунке 2 представлена общая структура сервисов. Основой системы является «Центр обработки данных» (ЦОД), он представляет собой вычислительный комплекс на который поступают данные с источников данных о дорожной ситуации, ими могут быть как собственные датчики и камеры, так и услуги предоставляемые сторонними компаниями. В ЦОД производится моделирование, и выдаются данные на Сервис №1 (Сервисы моделирования и управления транспортной сетью) который предоставляет услуги по выдаче рекомендаций службам управления транспортными потоками.

Сервис №2 (Сервис информационной поддержки участников дорожного движения) также получает данные из ЦОД и предоставляет услуги клиентам о текущей загруженности дорог, прогноз развития дорожной ситуации и информацию о прокладке маршрутов на основе прогнозов.

Для кого предназначена система

Данный набор сервисов предназначен для технических служб управления дорожным движением городов и населенных пунктов, испытывающих пиковые транспортные нагрузки (автомобильные пробки). Предлагаемые сервисы должны обеспечивать управление работой светофоров (динамически изменять интервалы переключения направлений на перекрестках) для балансировки транспортных потоков и предотвращения образования "пробок". Кроме того, предусматривается создание сервиса прогнозирования дорожной ситуации и выдаче рекомендаций о выборе направления движения.

Математическая модель управления транспортной сетью

В качестве аналога дорожной системы можно рассматривать компьютерную сеть, на узлах которой происходит обработка заявок, и могут образовываться очереди. Отметим, что разработка математической и информационной модели работы транспортной сети города, вряд ли возможна на основе традиционных моделей, например, теории массового обслуживания. Использование традиционных методов, основанных на пуассоновских входных потоках и экспоненциальном характере времени обслуживания не всегда оправдано. В случае отклонения коэффициентов вариаций этих распределений от единицы существующие методы аппроксимации, использующие два первых момента распределений входного потока и времени обслуживания имеют большую погрешность. Распределения и гистограммы реальных потоков, получаемые для компьютерных сетей в результате измерений вычислительной нагрузки и потоков, свидетельствуют об отличии потоков от пуассоновских.

Моделирование процессов обработки и передачи данных в сетях с регулярной и произвольной топологией и произвольным законом распределения интервалов времени поступления заявок, описано в работах [1-7]. Используя некоторые из развитых в этих работах подходы можно показать, что если рассматривать изменение потоков машин, как случайный процесс и для каждого направления, каждого узла транспортной сети задано критически допустимое число машин в очереди Li,j то, можно определить вероятность P(Li,j, t) того, что к моменту времени t число машин в очереди не превысит Li,j (пробка не образуется).

Пусть за некоторый интервал времени τ на j - перекресток, в i - направлении в очередь поступает ε машин и уезжает ξ машин. Весь процесс обработки будет складываться из отдельных шагов h имеющих продолжительность τ, причем - интенсивность входного потока, а - интенсивность выходного потока машин.

Обозначим через, Px-ε,h - вероятность того, что в очереди после h шагов работы находится (x-ε) машин, а Px,h - вероятность того что находятся x- машин и Px+ξ,h - вероятность того, что находится (x+ξ) машин. Тогда вероятность Px,h+1 (см. рис.3.) того, что на h+1 шаге будет находится x машин будет равна:

Рис. 3. Схема возможных переходов между состояниями, характеризующими число машин на j - перекрестке, в i - направлении на h+1 шаге работы светофора.

Px,h+1 = Px-ε,h + Px+ξ,h - Px,h

введем t=hτ, где t - общее время процесса обработки и получим:

P(x,t+τ)=P(x-ε,t)+P(x+ ξ,t)-P(x,t)

Раскладывая полученное уравнение в ряд Тейлора получим:

Вторую производную по t можно исключить, поскольку по своему смыслу она описывает процесс, при котором сами машины могли бы быть источниками дополнительных машин. Учитывая в левой части члены, содержащие не более чем первую производную по t, а в правой не более чем вторую производную по x, получим:

Cчитая, что µ и λ не зависят от x и введя обозначение и получим:

Поскольку функция P(x,t) является непрерывной, то от вероятности P(x,t) можно перейти к плотности вероятности ρ(x,t) и сформулировать задачу с граничными условиями.

При числе машин x=L в очереди на j - перекресток, в i - направлении, где L - некоторое критическое число, мы считаем, что узел обработки (j - перекресток, в i - направлении) становится перегруженным (образуется пробка). Сама вероятность обнаружить такое состояние будет отлична от 0, а плотность вероятности, определяющая поток машин в состоянии x=L необходимо положить равной 0 (мы стремимся избежать этого состояния), т.е.

ρ(x,t)x=L=0 (a)

Второе граничное условие выбираем исходя из того, что состояние x=0 определяет простой в обработке. Сама вероятность обнаружить такое состояние будет отлична от 0, однако плотность вероятности, определяющая поток машин в состоянии x=0 необходимо положить равной 0 (мы также должны стремиться избежать это состояние, т.к. оно соответствует случаю, когда светофор не закрывает данное направление, а это противоречит логике его работы), т.е.

ρ(x,t)x=0=0 (b)

Поскольку в момент времени t=0 (начало расчета) на обработке может находиться x0 -машин, то начальное условие зададим в виде:

Т.к. начальное условие задано в виде δ- функции, то это приводит к тому, что решение полученного дифференциального уравнения оставалось непрерывным в точке будет испытывать в ней разрыв производной.

Основываясь на возможности применения рассмотренного подхода и используя методы операционного исчисления можно получить выражение для вероятности P(Li,j, x0|t) того, что к моменту времени t пробка не образуется (число машин в очереди не превысит Li,j):

(1)

Где и , µi,j -число машин выходящих из j-узла транспортной сети (перекресток/светофор) в i-направлении за единицу времени (выходной поток), λi,j - число машин входящих на узел за единицу времени (входной поток), t-время, x0-число машин в очереди в момент начала шага работы светофора.

Решение уравнения (1) относительно времени t позволяет определить оптимальные интервалы времени включения светофоров. Однако это является ресурсоемкой вычислительной задачей. Учитывая, что вычисления нужно одновременно проводить для множества направлений и перекрестков, а также необходимо синхронизировать (см. уравнение (2)) на соседних перекрестках входящие и выходящие потоки машин, то для моделирования движения целесообразно использовать параллельные вычисления.

(2)

Где - число машин оставшихся не пропущенными на данном направлении i, данного j-перекрестка, после выполнения (k-1) шага, r - число входящих на перекресток направлений, - потоки, выходящие на (k-1) шаге по каждому из r - направлений на выбранный перекресток. Любая из машина, из входящих на (k-1) шаге потоков, может равновероятно выбрать на следующем шаге k одно из направлений r, поэтому перед знаком суммы стоит числовой коэффициент . - время, в течении которого выбранное направление было закрыто светофором (не время открытие, а время "цикла простоя") между двумя последовательными открытиями. Заметим, что открытие всех направлений на выбранном узле может происходить не в строго периодической последовательности. Порядок работы направлений может изменяться в зависимости от характера движения. Интервал времени между двумя последовательными открытиями одного и того же выбранного направления будет являться "циклом простоя", величина которого может динамически изменяться. - изменение входящего в выбранном направлении на выбранный узел потока машин, за время . Общее число машин в сети в любой момент времени суток соответствует функции числа машин от времени суток. - время в течение которого на (k-1) шаге были открыты входящие направления, пока выбранное исходящие направление было закрыто в течении времени . - поток исходящий по выбранному направлению на шаге k, - интервал времени включения светофором, на шаге k, выбранного направления (величину которого необходимо определить при решении уравнения для определения вероятность P(Li,j, x0|t) того, что к моменту времени t число машин в очереди не превысит Li,j (пробка не образуется)).-рекомендуемая скорость.

Для моделирования транспортной сети и определения является ли принципиально возможным динамическое изменение интервалов времени переключения светофоров в данном городе для предотвращения пробок или нет, помимо уравнений (1) и (2) необходимо иметь модель изменения числа машин от времени суток. Общее число машин в транспортной сети может быть задано для моделирования например функцией, изображенной на рисунке 4.

Рис.4. Загруженность дорог Москвы в течение одного из рабочих дней (кривая 1 - осень 2006 года, кривая 2 - осень 2007 года). Загруженности в 10 условных единиц (баллов) соответствует случай, когда все зарегистрированные в Москве и ближнем Подмосковье машины оказываются на дорогах. По статистике осень является наиболее загруженным периодом года.

На основе уравнений (1) и (2) и функции представленной на рисунке 4 был разработан алгоритм управления транспортной сетью, который реализуется в сервисе моделирования.

В модели случайного движения машин в городе ("классическое движение") уравнение (1) не используется, т.к. интервалы времени включения светофоров являются фиксированными и не могут динамически изменяться, а используется только уравнение (2) и данные рисунка 4.

Для тех сетей, в которых результаты моделирования показывают, что динамическое изменение интервалов времени переключения светофоров в данном городе для предотвращения пробок является принципиально возможным возможно использование сервиса динамического управления.

Новизна и применяемые технологии

Аналоги предлагаемого набора сервисов (например, ресурс Yandex-пробки) предлагают только информацию о состоянии транспортной сети, но не осуществляют управление сети через динамическое изменение интервалов переключения светофоров.

Предлагается инструмент для моделирования и эмулирования работы транспортно-информационной системы, использующий разработанные модели и алгоритмы, основанные на работах д.т.н., профессора Д.О. Жукова, к.т.н. А.С. Алешкина и С.А. Лесько. В этих математических моделях описаны правила обслуживания перекрестков (время переключения светофоров), учтен материальный баланс числа машин в системе и связи их потоков между соседними перекрестками.предлагаемый инструмент позволит, используя реальную карту транспортной сети создать ее динамическую модель, эмулировать ее работу, проверить, как в ней могут возникать пробки и разработать реальную систему - в этом заключается новизна и инновационность проекта и его отличие от других решений. Все это является очень важным для большого числа жителей городов и тех, кто занимается управлением, принятием решений и жизнеобеспечением городов.

Существуют различные способы регулировать дорожные потоки, это могут быть как регулировщики, так и обычные светофоры с фиксированными фазами работы. Так, например, в Москве в пределах садового кольца более 1100 перекрестков и поставить на каждый регулировщика является экономически не эффективным.

Светофоры с фиксированными фазами работы помогают решить проблему регулирования движения, но они менее эффективны и не могут реагировать на изменение дорожной ситуации (отсутствует обратная связь). Например, если циклические (суточные) изменения еще могут быть учтены при разработке фаз работы светофора, то различные случайные факторы, такие как: погодные условия, ремонтные работы, аварийный ситуации на дороге - не могут быть учтены.

Также существуют различные методы оптимизации трафика, которые лишь частично дополняют друг с друга. Они являются скорее дополнениями, а не заменителями. Как правило, это административные меры направленные на снижение количества машин в городе, уменьшения их размеров, запрет въезда в определенные части города и т.п.

Технологии лежащие в основе сервисов

Учитывая, что число узлов и связей в реальной транспортной сети является большим (несколько сотен или тысяч), а сами вычисления ресурсоемкими (необходимо рассчитывать каждое направление на каждом узле и синхронизировать потоки), и их необходимо проводить параллельно, то для решения поставленной задачи необходимо использовать высокопроизводительные параллельные вычисления. Осуществлять которые на практике можно например с использованием Windows HPC Server 2008 и Intel® MPI Library. Оптимизации работы и балансировки нагрузки вычислительных ресурсов, которые будут задействованы в моделировании и управлении транспортных систем требует виртуализации вычислений. Очевидно, что в зависимости от времени суток загрузка транспортной сети имеет минимумы и максимумы, а это будет приводить к неравномерному характеру необходимых вычислений и избыточной нагрузке в максимумах и простою оборудования в минимумах загруженности. Для решения задач моделирования и управления транспортными сетями каждому городу будет необходим дата центр. Однако учитывая неравномерность загруженности транспортных сетей и то, что земля имеет 24 часовых пояса, то можно использовать единый дата центр, который может переключаться с одних сетей на другие при изменении нагрузки для чего можно использовать идею вычислений в "облаке" (cloud computing), что дает проекту большую расширяемость.

Кроме всего прочего актуально использовать подход "ПО + сервисы", что вытекает из необходимости создания единого дата центра, который может предоставлять вычисления транспортной сети "из облака" - как сервис. А разработка геоинформационных транспортных карт, по которым проводится моделирование и управление транспортной сетью, может быть представлена как ПО (или как сервис).

Результаты разработки проекта

Основной задачей, решаемой в рамках Летней Школы, была программная реализация транспортной модели города, и моделирование дорожной ситуации с «управляемыми» светофорами, которые регулируются согласно предлагаемой модели, и «неуправляемыми» - это те светофоры, которые стоят у нас на улицах, с жестко заданными режимами переключения.

Первой проблемой которая возникла - было получить карты города и наглядно отобразить загруженность дорог при моделировании? В качестве решения была реализована функция загрузки карт в формате Open Street Map(OSM) был написан парсер этого формата, на выходе которого мы получаем граф дорожной сети с указанием свойств дуг ("дорога") и вершин ("перекресток"), что необходимо для моделирования и эмулирования движения, и набор объектов WPF - для отображения их на форме. На рисунке 5 показан пример приложения с загруженной картой.

Рис. 5. Пример карты города. Участок Москвы в пределах садового кольца.

Вторым этапом было реализация модели города. Это была самая трудоемкая и кропотливая стадия. Были реализованы классы дорог, перекрестков, дорожных направлений, светофоров и их состояний, а также машин и очередей ожиданий. Общая диаграмма классов отображена на рисунке 6. Когда все было готово, в систему были введены поведения «неуправляемых» светофоров и светофоров - переключающихся согласно разработанной математической модели. Также были реализованы инструменты для «ввода» машин с город согласно суточному распределению и задания поведения машин.

Рис. 6. Диаграмма основных классов в модели города.

Все! Осталось самое интересное: запустить модель на счет в двух режимах, с разными типами светофоров и оценить результаты. В качестве критерия эффективности был выбран показатель общей длины всех очередей на всех перекрестках загруженной карты. Пробкой в системе считается очередь автомобилей на светофоре, ожидающих разрешающего сигнала.

В качестве экспериментальной карты был загружен небольшой участок Васильевского острова. И смоделировано суточное движение автотранспорта. На рисунках 7 и 8 изображены участки города в одно и тоже время суток (утренний пик) с разными типами светофоров. Для наглядности загрузки, дороги подсвечиваются различными цветами от зеленого (дорога свободна) до красного (образовалась пробка).

Рис.7. Состояние участка города с «неуправляемыми» светофорами.

Рис.8. Состояние участка города с «управляемыми» светофорами.

Даже визуально заметно, что при использовании модели с «управляемыми» светофорами заметно меньше «красных» цветов. Детальное исследование длин очередей (см. рис.9.) показывает двукратное снижение числа пробок при использовании «регулируемых» светофоров.

Очевидно, что реальная ситуация на дорогах может значительно расходиться с экспериментальным математическим моделированием, однако полученные результаты позволяют говорить об адекватности предлагаемой модели и возможности ее использования в качестве основы проектируемых сервисов.

Рис.9. Сравнение эффективности предлагаемой модели с моделью фиксированных времен переключения светофоров.

Заключение

Описанная в работе модель и набор сервисов были разработаны во время участия в летней школе Intel 2009 в Санкт-Петербурге. Кроме того, была произведена апробация модели для прогнозирования дорожной ситуации, разработано приложение для моделирования и управления движения транспорта в сети.

Очень большую помощь оказала школа и ее консультанты в формулировании бизнес модели проекта и формированию бизнес плана.

Автор выражает свою искроенную благодарность компании Intel и другим организаторам летней школы за бескорыстную и дружескую поддержку, которую они оказали при реализации проекта, за ту, поистине уникальную возможность получить из первых рук очень важные и полезные знания.

Об авторе

Сергей Лесько - аспирант Московского государственного университета приборостроения и информатики по специальности: Математическое обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей. Участник летней школы Intel 2009 в Санкт-Петербурге, Победитель конкурса по разработке программных сервисов. Основная область профессиональных интересов: Платформа .NET, функциональное программирования, математическое моделирование: случайных процессов, стохастических систем, систем массового обслуживания. Нейронные сети. Высокопроизводительные вычисления. Цифровая обработка сигналов. Увлекаюсь спортом: роликовые коньки, лыжи. Являюсь студентом партнером Microsoft, читаю лекции и провожу тренинги по новым продуктам. Лидер «Группы .NET разработчиков МГУПИ». Участник российского финала конкурса программных проектов Imagine Cup 2005. Сдал сертификационные экзамены: MCTS, RHCT.

Литература

1. Алешкин А.С., Жуков Д.О. Новый подход к моделированию информационно-вычислительных сетей. // Журнал «Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика», М.: Научтехиздат, 2007, №9, c.35-40.

2. Лесько С.А., Гусаров А.Н., Жуков Д.О. Моделирование полихронной динамики обработки стохастических заявок. // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. М.: Научтехиздат, 2008, №6. с. 30-36.

3. Алешкин А.С. Использование теории перколяции для анализа влияния топологии регулярных информационно-вычислительных сетей на надежность их работы // Технологии Microsoft в теории и практике программирования: Тр. V Всерос. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Центральный регион. Москва, 1 - 2 апреля 2008 г. - М.: Вузовская книга, 2008. -с. 49-50.

4. Жуков Д.О., Алешкин А.С. Влияние топологии случайных сетей на процессы перколяции // Научная сессия МИФИ-2008. Сборник научных трудов. В 15 томах. Т.11. Технологии разработки программных систем. Информационные технологии. М.:МИФИ, 2008, с.172-173.

5. Алешкин А.С., Пыльнева Ю.И. Численное моделирование процессов перколяции данных в информационно-вычислительных сетях, имеющих регулярную топологию // Технологии Microsoft в теории и практике программирования: Тр. V Всерос. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Центральный регион. Москва, 1 - 2 апреля 2008 г. - М.: Вузовская книга, 2008. - с. 47-48.

6. Жуков Д.О., Алешкин А.С. Динамическая модель обработки стохастических данных // Научная сессия МИФИ-2008. Сборник научных трудов. В 15 томах. Т.11. Технологии разработки программных систем. Информационные технологии. М.:МИФИ, 2008, с.170-171.

7. Жуков Д.О., Алешкин А.С., Савостьянова А.В. Анализ влияния топологии регулярных информационно-вычислительных сетей на надежность их работы с использованием теории перколяции. // Научная сессия МИФИ-2008. Сборник научных трудов. В 15 томах. Т.12. Информатика и процессы управления. Компьютерные системы и технологии. М.:МИФИ, 2008, с.52-53.